Teoría de grafos y comportamiento del Krill

 

Grafo de interacciones. Elaboración propia

Modelado matemático del comportamiento del krill mediante teoría de grafos

El krill antártico (Euphausia superba) es un organismo clave en los ecosistemas oceánicos, conocido por su comportamiento gregario y la formación de densos cardúmenes. Comprender la estructura y dinámica de estos grupos requiere herramientas que permitan representar interacciones complejas y cambiantes. En este contexto, la teoría de grafos se presenta como una herramienta matemática poderosa para modelar redes de interacción en poblaciones animales.

Las figuras anteriores muestran dos grafos con diferentes densidades de conexiones basadas en los niveles de serotonina. Elaboración propia.

Fundamentos matemáticos: teoría de grafos

Desde el punto de vista formal, un grafo se define como un par ordenado:

G=(V,E)

donde $V = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ es el conjunto de nodos (en nuestro caso, individuos de un enjambre de  krill), y $E \subseteq V \times V$ es el conjunto de aristas que representan las interacciones entre los individuos. Si el grafo es no dirigido, entonces $(v_i, v_j) \in E \Rightarrow (v_j, v_i) \in E$.

También hemos considerado trabajar utilizando "grafos ponderados", en los cuáles se asigna una función de peso donde existe una función de peso w:E→R+, por ejemplo, para representar el coeficiente cognitivo, medida arbitraria con la cuál hemos definido la "cantidad de conocimiento" que cada individuo almacena durante su exploración por el espacio.

Un aspecto central en nuestro análisis es el uso de grafos dinámicos $G_t = (V_t, E_t)$, en los que nodos y enlaces evolucionan con el tiempo $t$, permitiendo capturar la dinámica del grupo.

Métricas clave para analizar comportamiento colectivo

Algunas de las métricas más relevantes para caracterizar la estructura del grafo de interacción del krill incluyen:

• Grado de un nodo:

  $$\deg(v_i) = |\{v_j \in V : (v_i, v_j) \in E\}|$$
  Representa el número de individuos con los que interactúa directamente un nodo dado. El promedio del grado 
  $\langle k \rangle = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \deg(v_i)$

• Camino mínimo y diámetro:
  La distancia $d(v_i, v_j)$ es la longitud del camino más corto entre $v_i$ y $v_j$. El diámetro del grafo es:

  $$D = \max_{v_i, v_j \in V} d(v_i, v_j)$$

  Es una medida de la extensión espacial del grupo.

Construcción del grafo a partir de datos empíricos

En nuestra investigación, los grafos se construyen a partir de registros de video o simulaciones, usando un umbral de distancia 

$d_{th}$$d_{th}$

En las siguientes imágenes, el equipo de investigación (Emilia Riquelme y Fernanda Nazar) posa junto a la pizarra en la que se encuentran las anotaciones relacionadas con teoría de grafos con las que hemos trabajado modelando dinámicas sociales. Estas ideas forman parte de nuestro trabajo actual, enfocado en aplicar modelos de grafos para analizar y entender el comportamiento colectivo del krill. La integración de conceptos matemáticos con observaciones biológicas nos permite explorar nuevas perspectivas sobre los patrones de movimiento y organización de estas especies marinas.

Conclusión

El uso de teoría de grafos permite describir cuantitativamente la estructura y evolución de los cardúmenes de krill, integrando observaciones empíricas con herramientas formales. Estas representaciones no solo capturan patrones de interacción, sino que también abren la puerta al desarrollo de modelos predictivos y simulaciones de comportamiento colectivo, con aplicaciones en ecología, conservación y modelado de sistemas complejos.